A számtani, illetve mértani sorozat fogalma

Sorozat fogalma: Ha egy függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza, akkor ezt a függvényt valós számsorozatnak, vagy röviden sorozatnak nevezzük.

Jelölések: ha egy sorozat n-edik tagjának értéke a, akkor ezt így jelöljük: an.

Definíció: Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó.

Ezt az állandó különbséget a sorozat differenciájának nevezzük, és általában d-vel jelöljük. Azaz: an=an-1- d. (n>1)

Ha egy számtani sorozatnál d>0, akkor a sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos.

Ha d<0, akkor a számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos.

Ha pedig d=0, akkor a számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó.

Példa: Legyen egy számtani sorozatban a1=3. és a differenciája: d=2. Ekkor a sorozat: 3; 5; 7; 9;...

Megjegyzés: Ha meg van adva egy sorozat első pár eleme, ahol a különbség állandó, az még nem bizonyítja, hogy számtani sorozatról van szó. Például: a1=3; a2=5; a3=7. Ez a sorozat így is folytatódhat: a4=11; a5=13; a6=17;..., ami a páratlan prímszámok sorozata.

Számtani sorozat elnevezéséről:

Írjuk fel a sorozat pár szomszédos elemét: an-1; an; an+1.

Ezt a definíció szerint így is írhatjuk: an-d; an; an+d.

Ami azt jelenti, hogy:

; n>1

Vagyis a számtani sorozat n-edik (nem első) tagja vele szomszédos két tag számtani közepe. Sőt ezt általánosabban is írhatjuk:

; ahol n>i.

Amit úgy is fogalmazhatunk, hogy a számtani sorozat n-edik eleme számtani közepe a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő két másik tagnak.

Definíció: Mértani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó.

Ezt az állandó hányadost latin eredetű szóval a sorozat kvóciensének nevezzük, és általában q-val jelöljük. Azaz:

an/an-1=q. (n>1)

Ha egy mértani sorozatnál q>0, akkor a mértani sorozat állandó előjelű.

Ha egy mértani sorozatnál q<0, akkor a mértani sorozat váltakozó előjelű.

Példa: Legyen egy mértani sorozatban a1=3. és a kvóciens: q=2. Ekkor a sorozat: 3; 6; 12; 24;...

Mértani sorozat elnevezéséről:

Írjuk fel a sorozat pár szomszédos elemét: an-1; an; ; an+1.

Ezt a definíció szerint így is írhatjuk: an/q;an; an*q

Ami azt jelenti, hogy:

.(n>1)

Vagyis a mértani sorozat n-edik (nem első) tagja vele szomszédos két tag mértani közepe. Sőt ezt általánosabban is írhatjuk:

; ahol n>i.

Amit úgy is fogalmazhatunk, hogy a mértani sorozat n-edik eleme mértani közepe a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő két másik tagnak.

Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről árulkodik az un. Rhind-papirusz, amely Kr.e. 1750. körül készült.